P-groupe

En mathématiques, et plus précisément en algèbre, un p-groupe, pour un nombre premier p donné, est un groupe (fini ou infini) dont tout élément a pour ordre une puissance de p. Les p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini sont un exemple important de p-groupes.

Propriétés

Tout sous-groupe et tout quotient d'un p-groupe est un p-groupe.
Réciproquement, si H est un p-sous-groupe normal d'un groupe G et si le quotient G/H est un p-groupe, alors G est un p-groupe.
On peut tirer du point précédent qu'un produit semi-direct de deux p-groupes est un p-groupe.
La somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de p-groupes est un p-groupe.
Un groupe fini est un p-groupe si et seulement si son ordre est une puissance du nombre premier p.
Dans un p-groupe, si l'indice d'un sous-groupe est fini, alors cet indice est une puissance de p.
Tout p-groupe fini non trivial possède un centre non trivial (par trivial, on entend réduit à l'élément neutre).
Tout p-groupe fini est nilpotent donc résoluble.
Soit G un p-groupe fini d'ordre pⁿ. Pour tout nombre naturel r inférieur ou égal à n, G admet au moins un sous-groupe d'ordre p^r.

Tout p-groupe fini non abélien possède au moins un automorphisme non intérieur d'ordre une puissance de p.
Tout automorphisme d'un p-groupe G d'ordre pⁿ induit un automorphisme du quotient de G par son sous-groupe de Frattini Φ(G) = G^p[G, G]. Ce quotient est un groupe abélien élémentaire (ℤ/pℤ)^d, dont le groupe d'automorphismes est GL(d, F_p), d'ordre (p^d – 1)(p^d – p)(p^d – p²) … (p^d – p^d–1). Le noyau du morphisme canonique de Aut(G) dans Aut(G/Φ(G)) a pour ordre un diviseur de p^d(n–d).
L'exposant d'un p-groupe est une puissance de p.

Remarque : tout groupe d'ordre p² est soit cyclique, soit produit de deux groupes cycliques d'ordre p.

Notes et références

Notes

Références

J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, PUF, 1984, 3^e éd. (ISBN 978-2-13-038465-6)
(en) Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups [détail des éditions]
Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
Daniel Perrin, Cours d'algèbre [détail des éditions]
(en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions]
(en) W. R. Scott, Group Theory, Dover, 1987 (1^re éd. 1964) (lire en ligne)